REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.

Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).[1]

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema.

Computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para las matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Si Ax=b es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema,x=(X1,…,Xn) es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.

MATRIZ DE COFACTORES

Sea A una matriz cuadrada de orden n .Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai,j.Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:

El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) .
En el ejemplo, M3,2 = 34

El cofactor de ai,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota c i, j = (-1) i + j · Mi,j o ai,j con una tilde encima.

En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.

La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:A·tcom A =tcom A · A = det A· In, donde In es la matriz identidad de orden n.

Matriz inversa

Definición

La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz, A-1, de orden N que verifica:

donde I es la matriz identidad de orden n. .

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:

Mediante la definicion

Ejemplo

hacemos

como:

Operando:

Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular A se calcular transformando la matriz (AlI) mediante operaciones elementales por filas en la matriz (ILA-1)

Operaciones elementales por filas en una matriz

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por Fi=Fj

2. Multiplicar la fila i por el numero k=0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=k.Fi

3. Sumar la fila i con la fila j y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=Fi+Fj

4. Sumar las filas i y j , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j . Lo designamos por Ft o Fj=k.Fi+.Fjk

Definiciones básicas

Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.

Operaciones con matrices

Trasposición

La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji.

Suma, Resta

Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij.
Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.

Álgebra de matrices

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales

Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales

se puede escribir como la ecuación matriz
AX = B
donde

X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T
y
B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad
AA-1 = A-1A = I.
Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.
En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación
AX = B
multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da
X = A-1B.

Determinar si una matriz es invertible

Para determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A 1 si existe, escriba la matriz n×(2n) [A I] (esta es A con la matriz unidad n×n a su lado).
Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.
Si la forma reducida es [I B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.

Inversa de una matriz 2×2

La matriz 2×2

es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula

Aplicación: modelos económicos de insumo-producto

Una matriz insumo-producto para una economía da, en su ja columna, las cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la economía durante un año (llamada el vector producción cuando está escrito como una columna).

La matriz tecnología

La matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna por la producción total del sector correspondiente. Su ija entrada , el ijo coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el vector demanda, entonces
(I - A)X = D,
o
X = (I - A)-1D. Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.

video de apoyo.

VECTORES EN EL ESPACIO

Para definir la posición de una ciudad nosotros siempre hablamos en términos de distancia (en km o m), de una dirección (sur, norte, oriente, occidente) y de altura o altitud.
La posición de Cartagena, desde Medellín, se puede expresar como una distancia 600 km, una dirección, norte, y una altitud, bajando 1500m.
Así para ubicar cualquier punto en el espacio necesitamos definir tres cantidades que pueden ser:
tres distancias perpendiculares entre si, por lo general se trazan paralelas a los ejes coordenados o 1 distancia total y dos direcciones o dos distancias y una dirección.

Al trazar el vector de posición, rOAOA , el cual llamaremos A, nos damos cuenta que este se puede expresar como la suma de tres vectores paralelos a los ejes coordenados, donde estos vectores corresponden a las componentes rectangulares de ese vector en el espacio:
A=Ax+Ay+Az

Como ya sabemos la suma de estos tres vectores se realiza por el método de cabeza y cola y cumple la ley conmutativa de la adición, esto quiere decir que nos podemos ir por cualquier camino siguiendo líneas paralelas a los ejes coordenados y siempre llegaremos al punto A.

También se sabe que la ubicación de un punto se puede conocer si se conocen dos distancias y una dirección. En este caso el vector de posición del punto A, A se puede expresar como la suma de dos vectores perpendiculares entre sí:

Axy+Az

Donde Axy es la proyección del vector A en el plano XY yAz es la proyección del vector A sobre el eje Z. Estos tres vectores forman un triángulo rectángulo donde la diagonal es el vector A resultante de la suma de los dos catetos (ver figura).
Proyecciones de A :

La proyección Axy también se puede expresar como la suma de dos vectores, uno paralelo a X y otro paralelo a Y, recordemos que este procedimiento es la descomposición del vector:Axy=Ax+Ay
donde, por trigonometría en el triángulo formado en el plano XY podemos decir que:

reemplazando en la primera ecuación:

La ventaja de trabajar por medio de esta descomposición es que en todos los casos estamos en planos con triángulos rectángulos y no en el espacio.
Expresando todo en términos de la magnitud y direcciones conocidas tenemos:

En esta ecuación podemos sacar factor común lAl:

Habíamos visto que un vector siempre se puede expresar como el producto de su magnitud por el vector unitario e sobre su línea de acción. Si observamos esta ecuación nos damos cuenta que el vector A está en función de su magnitud y de la expresión dentro del paréntesis. Haciendo la igualdad concluimos que la expresión dentro de los corchetes no es mas que el vector unitario en la dirección de A , este vector contiene los cosenos directores de la línea de acción de A .

Para determinar los ángulos directores, o sea aquellos que hace el vector con cada uno de los ejes positivos, se determina el coseno inverso de las componentes del vector unitario e.

debido a que esta ecuación es vectorial, cada componente debe ser igual a su par al otro lado de la igualdad:

Donde x, y y z son los ángulos directores del vector .
Una forma de encontrar es dividiendo un vector por su magnitud, en este caso:

Así, el coseno del ángulo director se determina por la división entre la componente correspondiente al eje solicitado y la magnitud del vector. Dicho de otra manera, la proyección del vector en cada eje, o sea su componente en un eje, se determina por medio del coseno del ángulo que hace el vector con ese eje y la magnitud del vector.
Para visualizar las componentes se puede colocar un plano entre el vector y el eje cartesiano y se descompone el vector en una paralela al eje y otra perpendicular a ese eje pero contenida en el plano. Para hallar la componente paralela simplemente usamos el coseno del ángulo entre el eje y el vector:

Los ángulos directores de un vector; θx, θy, y θz, se miden desde el vector al eje y siempre son menores de 180º. Entre ellos no suman 180º ya que las componentes no forman un triángulo en el espacio.Magnitud de un vector en el espacio: considerando las componentes rectangulares podemos determinar la magnitud si trabajamos con triángulos rectángulos y aplicando Pitágoras.

La magnitud de un vector en el espacio es la raíz de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes.
La magnitud del vector unitario es 1, por lo tanto:, de lo cual podemos concluir que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a 1. Esta igualdad nos permite conocer un ángulo director, si conocemos los otros dos.
Regla de la mano derecha: para colocación de los ejes x,y, z. Los ejes coordenados en el espacio deben cumplir con una convención de rotaciones que llamamos la regla de la mano derecha. Colocando los dedos de la mano derecha sobre el eje X positivo y produciendo un giro hacia el eje Y positivo encuentro el eje Z positivo con mi dedo pulgar. Recuerdo que Z es perpendicular al plano XY.

Vector de posición en el espacio: Igual que en dos dimensiones, podemos expresar la posición de un punto con respecto a otro por medio de un vector. Para ir del punto A al punto B, o definir la posición de B con respecto a A, no es mas que avanzar de A a B en forma paralela a los ejes coordenados, encontrando las distancias netas paralelas a ellas.

SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO

Para sumar vectores en el espacio utilizamos la suma por componentes. Una vez expresados los vectores en función de sus componentes, el vector resultante se halla sumando algebraicamente las componentes de los vectores a sumar.

Esta ecuación involucra tres ecuaciones totalmente independientes, donde en cada una se determina un vector resultante paralelo a cada eje y la suma de estos tres vectores representa el vector resultante total.
OTRAS OPERACIONES ENTRE VECTORES EN EL ESPACIO

PRODUCTO PUNTO: Esta operación se utiliza para averiguar el ángulo entre dos vectores y la proyección de un vector en una línea dada.
La proyección de un vector en una línea nos define la componente del vector paralela a esa línea, por lo tanto sirve para descomponer un vector en una componente paralela a una línea y en otra perpendicular a ella.



siendo θ en ángulo entre las líneas de acción de A y B.

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES EN EL ESPACIO

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.Esta combinación lineal es única.
Ejemplo
Expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1).



Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

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