TRABAJO REALIZADO POR

JOSE EDUARDO FERNANDEZ C.

JULIO CESAR FERNANDEZ V.

DIEGO ANDRES MORENO.

SISTERMAS II

NOCTURNA

FUNDACION CENTRO DE INVESTIGACION,

CONSULTORIA Y ADMINITRATIVA

"CIDCA "

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

METODO DE SUSTITUCION

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

Y=22-3X

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado X=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

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METODO DE IGUALACION

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita Y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra despejada.

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METODO DE REDUCCION

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales.

El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo.

A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita Y . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

-4x-6x=-10

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita Y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:

X=-6

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a 17/3.

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ELIMINACION DE GAUSS JORDAN

En la matemática, la eliminación Gaussiana o eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada"

Eliminación de Gauss-Jordan.

una matriz está escrita en forma escalonada reducida por renglones si cumple las condiciones

i) Si hay un renglón que consta completamente de ceros, deberá estar en la parte inferior de la matriz.
ii) Si un renglón no consta completamente de ceros, el primer numero diferente de cero de cada renglón (Empezando por la izquierda), deberá ser 1(Llamado 1 principal).
iii) Si dos renglones consecutivos tienen elementos diferentes de cero, entonces el 1 principal del renglón de inferior está más a la derecha que el 1 principal del renglón superior.
iv) Cada columna que contenga un 1 principal, tiene ceros en todas las demás posiciones de dicha columna.

La eliminación de Gauss-Jordan o Método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en convertir la matriz aumentada en una matriz reducida por renglones y a partir de ésta interpretar directamente la solución del sistema.

Ejemplo 1:Encuentra la solución del sistema

Solución:

Escribiendo la matriz aumentada y luego reduciéndola por renglones se tiene

Por lo tanto la solución del sistema es: (1,2,-1)

Ejemplo 2:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solución:
Escribiéndolo en la forma escalonada reducida por renglones:

Despejando la primera incógnita de cada una de las ecuaciones:

Puede observarse que el valor de estas incógnitas dependen del valor que se le asigne arbitrariamente a X3 , por lo tanto el sistema es consistente indeterminado, pues tiene un número infinito de soluciones que están representadas por

DETERMINANTES

Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por A ó det(A), al número:

(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i() es la signatura de la permutación)

También se suele escribir:

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3

Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:

En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.

Dada la matriz

La matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por ij

Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+jij.

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.

Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

Desarrollando por la primera columna:

video de ayuda