Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada"
Eliminación de Gauss-Jordan.
una matriz está escrita en forma escalonada reducida por renglones si cumple las condiciones
i) Si hay un renglón que consta completamente de ceros, deberá estar en la parte inferior de la matriz.
ii) Si un renglón no consta completamente de ceros, el primer numero diferente de cero de cada renglón (Empezando por la izquierda), deberá ser 1(Llamado 1 principal).
iii) Si dos renglones consecutivos tienen elementos diferentes de cero, entonces el 1 principal del renglón de inferior está más a la derecha que el 1 principal del renglón superior.
iv) Cada columna que contenga un 1 principal, tiene ceros en todas las demás posiciones de dicha columna.
La eliminación de Gauss-Jordan o Método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en convertir la matriz aumentada en una matriz reducida por renglones y a partir de ésta interpretar directamente la solución del sistema.
Ejemplo 1:Encuentra la solución del sistema
Solución:
Escribiendo la matriz aumentada y luego reduciéndola por renglones se tiene
Por lo tanto la solución del sistema es: (1,2,-1)
Ejemplo 2:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Ejemplo 2:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Solución:
Escribiéndolo en la forma escalonada reducida por renglones:
Escribiéndolo en la forma escalonada reducida por renglones:
Despejando la primera incógnita de cada una de las ecuaciones:
Puede observarse que el valor de estas incógnitas dependen del valor que se le asigne arbitrariamente a X3 , por lo tanto el sistema es consistente indeterminado, pues tiene un número infinito de soluciones que están representadas por
