Sea A una matriz cuadrada de orden n .Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai,j.Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:
El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) .
En el ejemplo, M3,2 = 34
En el ejemplo, M3,2 = 34
El cofactor de ai,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota c i, j = (-1) i + j · Mi,j o ai,j con una tilde encima.
En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.
La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:A·tcom A =tcom A · A = det A· In, donde In es la matriz identidad de orden n.
Matriz inversa
Definición
La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz, A-1, de orden N que verifica:
donde I es la matriz identidad de orden n. .
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
Cálculo de la matriz inversa Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
hacemos
como:
Operando:
Método de Gauss-Jordan
La inversa de una matriz regular A se calcular transformando la matriz (AlI) mediante operaciones elementales por filas en la matriz (ILA-1)
La inversa de una matriz regular A se calcular transformando la matriz (AlI) mediante operaciones elementales por filas en la matriz (ILA-1)
Operaciones elementales por filas en una matriz
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por Fi=Fj
2. Multiplicar la fila i por el numero k=0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=k.Fi
3. Sumar la fila i con la fila j y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=Fi+Fj
4. Sumar las filas i y j , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j . Lo designamos por Ft o Fj=k.Fi+.Fjk
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por Fi=Fj
2. Multiplicar la fila i por el numero k=0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=k.Fi
3. Sumar la fila i con la fila j y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=Fi+Fj
4. Sumar las filas i y j , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j . Lo designamos por Ft o Fj=k.Fi+.Fjk
Definiciones básicas
Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.
Operaciones con matrices
Trasposición
La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji.
Suma, Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij.
Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.
Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.
Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.
Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales
Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales
se puede escribir como la ecuación matriz
AX = B
donde
AX = B
donde
X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T
y
B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T
y
B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T
Matriz inversa
Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad
AA-1 = A-1A = I.
Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.
En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación
AX = B
multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da
X = A-1B.
AA-1 = A-1A = I.
Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.
En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación
AX = B
multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da
X = A-1B.
Determinar si una matriz es invertible
Para determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A 1 si existe, escriba la matriz n×(2n) [A I] (esta es A con la matriz unidad n×n a su lado).
Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.
Si la forma reducida es [I B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.
Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.
Si la forma reducida es [I B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.
Inversa de una matriz 2×2
La matriz 2×2
es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula 
Aplicación: modelos económicos de insumo-producto
Una matriz insumo-producto para una economía da, en su ja columna, las cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la economía durante un año (llamada el vector producción cuando está escrito como una columna).
La matriz tecnología
La matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna por la producción total del sector correspondiente. Su ija entrada , el ijo coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el vector demanda, entonces
(I - A)X = D,
o
X = (I - A)-1D. Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.
(I - A)X = D,
o
X = (I - A)-1D. Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.
video de apoyo.
