VECTORES EN EL ESPACIO

Para definir la posición de una ciudad nosotros siempre hablamos en términos de distancia (en km o m), de una dirección (sur, norte, oriente, occidente) y de altura o altitud.
La posición de Cartagena, desde Medellín, se puede expresar como una distancia 600 km, una dirección, norte, y una altitud, bajando 1500m.
Así para ubicar cualquier punto en el espacio necesitamos definir tres cantidades que pueden ser:
tres distancias perpendiculares entre si, por lo general se trazan paralelas a los ejes coordenados o 1 distancia total y dos direcciones o dos distancias y una dirección.

Al trazar el vector de posición, rOAOA , el cual llamaremos A, nos damos cuenta que este se puede expresar como la suma de tres vectores paralelos a los ejes coordenados, donde estos vectores corresponden a las componentes rectangulares de ese vector en el espacio:
A=Ax+Ay+Az

Como ya sabemos la suma de estos tres vectores se realiza por el método de cabeza y cola y cumple la ley conmutativa de la adición, esto quiere decir que nos podemos ir por cualquier camino siguiendo líneas paralelas a los ejes coordenados y siempre llegaremos al punto A.

También se sabe que la ubicación de un punto se puede conocer si se conocen dos distancias y una dirección. En este caso el vector de posición del punto A, A se puede expresar como la suma de dos vectores perpendiculares entre sí:

Axy+Az

Donde Axy es la proyección del vector A en el plano XY yAz es la proyección del vector A sobre el eje Z. Estos tres vectores forman un triángulo rectángulo donde la diagonal es el vector A resultante de la suma de los dos catetos (ver figura).
Proyecciones de A :

La proyección Axy también se puede expresar como la suma de dos vectores, uno paralelo a X y otro paralelo a Y, recordemos que este procedimiento es la descomposición del vector:Axy=Ax+Ay
donde, por trigonometría en el triángulo formado en el plano XY podemos decir que:

reemplazando en la primera ecuación:

La ventaja de trabajar por medio de esta descomposición es que en todos los casos estamos en planos con triángulos rectángulos y no en el espacio.
Expresando todo en términos de la magnitud y direcciones conocidas tenemos:

En esta ecuación podemos sacar factor común lAl:

Habíamos visto que un vector siempre se puede expresar como el producto de su magnitud por el vector unitario e sobre su línea de acción. Si observamos esta ecuación nos damos cuenta que el vector A está en función de su magnitud y de la expresión dentro del paréntesis. Haciendo la igualdad concluimos que la expresión dentro de los corchetes no es mas que el vector unitario en la dirección de A , este vector contiene los cosenos directores de la línea de acción de A .

Para determinar los ángulos directores, o sea aquellos que hace el vector con cada uno de los ejes positivos, se determina el coseno inverso de las componentes del vector unitario e.

debido a que esta ecuación es vectorial, cada componente debe ser igual a su par al otro lado de la igualdad:

Donde x, y y z son los ángulos directores del vector .
Una forma de encontrar es dividiendo un vector por su magnitud, en este caso:

Así, el coseno del ángulo director se determina por la división entre la componente correspondiente al eje solicitado y la magnitud del vector. Dicho de otra manera, la proyección del vector en cada eje, o sea su componente en un eje, se determina por medio del coseno del ángulo que hace el vector con ese eje y la magnitud del vector.
Para visualizar las componentes se puede colocar un plano entre el vector y el eje cartesiano y se descompone el vector en una paralela al eje y otra perpendicular a ese eje pero contenida en el plano. Para hallar la componente paralela simplemente usamos el coseno del ángulo entre el eje y el vector:

Los ángulos directores de un vector; θx, θy, y θz, se miden desde el vector al eje y siempre son menores de 180º. Entre ellos no suman 180º ya que las componentes no forman un triángulo en el espacio.Magnitud de un vector en el espacio: considerando las componentes rectangulares podemos determinar la magnitud si trabajamos con triángulos rectángulos y aplicando Pitágoras.

La magnitud de un vector en el espacio es la raíz de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes.
La magnitud del vector unitario es 1, por lo tanto:, de lo cual podemos concluir que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a 1. Esta igualdad nos permite conocer un ángulo director, si conocemos los otros dos.
Regla de la mano derecha: para colocación de los ejes x,y, z. Los ejes coordenados en el espacio deben cumplir con una convención de rotaciones que llamamos la regla de la mano derecha. Colocando los dedos de la mano derecha sobre el eje X positivo y produciendo un giro hacia el eje Y positivo encuentro el eje Z positivo con mi dedo pulgar. Recuerdo que Z es perpendicular al plano XY.

Vector de posición en el espacio: Igual que en dos dimensiones, podemos expresar la posición de un punto con respecto a otro por medio de un vector. Para ir del punto A al punto B, o definir la posición de B con respecto a A, no es mas que avanzar de A a B en forma paralela a los ejes coordenados, encontrando las distancias netas paralelas a ellas.